问题求解方法——穷举法 穷举法步骤

问题求解方法——穷举法

在问题求解过程中，穷举法是一种常用的方法。穷举法的定义是：在已知答案范围的情况下，依次地枚举该范围内所有的取值，并对每个取值进行考查，确定是否满足条件。

以百钱买百鸡问题为例，假设有100元钱要用来买鸡，其中公鸡每只5元，母鸡每只3元，小鸡3只1元，要求每种鸡都至少买一只，问能买公鸡、母鸡、小鸡各买几只。

使用穷举法解决该问题的步骤如下：

1. 列出问题的数学表达式，设公鸡数量为x，母鸡数量为y，小鸡数量为z，可以得到以下两个表达式：

- 公式1：x + y + z = 100

- 公式2：5x + 3y + z/3 = 100

2. 分析表达式后发现存在三个未知数，只有两个表达式无法求解出具体的解，因此无法用解析法直接得到答案。因此，可以采用穷举法，逐个尝试每一种可能的情况。

3. 假设公鸡数量为x，母鸡数量为y，小鸡数量为z。根据条件进行试探，即将以上两个表达式代入，并判断是否满足条件。如果两个表达式都满足条件，则该组解就是所求的答案，可以输出结果；如果不满足条件，则尝试下一种情况。

4. 在逐个尝试的过程中，需要找准方向。首先从小鸡数量开始尝试，假设公鸡1只，母鸡1只，小鸡1只的情况发现无法满足条件，然后将小鸡数量逐一加一，继续尝试。例如，假设花费的100元钱全部用于购买小鸡，得到小鸡的最大可能数量为300只，但300只显然是不可取的，因为公鸡和母鸡也需要购买，不需要考虑这种情况。如果300只是错误答案，那么代入两个表达式肯定会不成立，因此可以排除该情况，认为小鸡数量的范围是1-300只。接着尝试母鸡数量，即公鸡1只，母鸡1只的情况，将1-300只小鸡数量的可能性逐一尝试，直到尝试完毕后继续尝试公鸡1只，母鸡2只的情况，如果得到结果就输出，否则尝试下一个数。同样地，如果花费的100元钱全部用于购买母鸡，最多可购买33只母鸡，因此母鸡数量的范围是1-33只。继续尝试公鸡的数量，公鸡最多可以购买20只。按照这样的方法，将所有可能的情况代入两个表达式中，满足条件的输出，不满足条件的继续尝试，直到得到结果。

5. 穷举法的定义：在已知答案范围的情况下，依次地枚举该范围内所有的取值，并对每个取值进行考查，确定是否满足条件。通过穷举法，我们可以找到问题的解决方案。