背景

深度学习属于机器学习，机器学习的三个步骤就是：模型，策略和计算方法。比如LR，模型使用的LR模型（LR是基于伯努利假设，伯努利属于指数分布族，指数分布族属于广义线性模型），策略使用的是联合概率分布最大，计算方法是梯度下降法或拟牛顿法等。

深度学习的模型是神经网络，如下图：

策略就是我们说的损失函数，cost function，反映了模型的预测误差，如交叉熵、均方误差等。给定N个训练数据集：

基于训练集找到一组最佳的参数

使得C(θ)最小；

具体表示方法是什么？这就需要明白神经网络模型如何表示的，如下图所示，对于l层来说：

第l层的第i个神经元的输入Zi，它是上一层所有神经元的输入之和：

第l层的第i个神经元的输出ai，是zi经过非线性变化（我们称为激活函数，如ReLu，sigmoid等）：

因此，我们说的θ就是所有的

，则损失函数的偏导

就是求出所有的

和

。

一般地，我们求出

和

，会更新参数，即

。但神经网络的参数非常多，比如很简单的alexnet的参数个数在千万级别，一个一个地求是不切实际的，所以，这里需要用到反向传播：back propagation！

反向传播优化模型参数

求解之前，需要了解一下链式法则，就是g(f(x))对x的求导，会等于 g对f的求导 乘 f对x的求导。由于z是w的函数，所以：

可以通过前向传播求出（即，是已知的不用求）

接下来求解

。令

表示

，（不表示也可以，它有对应的实际的意义，不知道实际的意义也没关系，因为这是我们一步一步推导下来的）。求解

会比较困难，因为

-->

-->...-->

。这是层层传递下去的。

如果，我们能够知道如何层层传递，即l层第i个神经元

和l+1层

（会影响所有神经元）的关系，然后又能算出最后一层L的

，是不是就可以了？所以，我们需要解决2个问题：

（1）最后一层L的

如何计算？

（2）

和

的关系？

对于问题（1），

是一个向量，我们看看如何求其中一个值n，

， 而

就是最后的输出值

（对于多分类问题，比如分10类，最后一层的节点数是10个，激活函数是softmax）

,

为最后一层采用的激活函数(多分类一般是softmax)，

是激活函数的一级导数。

取决于采用的损失函数，如果采用的是均方误差，则

(能够直接得到)

综上：

可以求得。

对于问题（2），第l层的第i个神经元是如何影响到l+1层所有的神经元呢？

，

为激活函数（一般是ReLu），

是激活函数的一级导数，可以直接求得。

如何求？可以这么理解，

会影响[

]，而[

]影响C(θ)。

综上：

总结

额？辛苦码的那么多，不知道怎么没了，好吧，再打一遍吧~

神经网络的训练说白了就是给你N个训练集，然后让你选择一组参数θ使得在这N个训练集上的损失C(θ)最小。如果找到这组参数呢？用梯度下降法找到这些参数。

梯度下降法就是随机取一组参数，然后每次迭代都朝下降最快的方向更新，即：

有因为θ其实是由很多的参数组成，这些参数分别是权重w和偏差b，权重

表示第l-1层的第j个神经元的输出，对第l层的第i个神经元的输入的贡献。

根据推导，前者等于

，可通过反向传递求得，后者等于

后者通过前向传播求得，如下图所示：